Mikhail Bondarko (buddha239) wrote,
Mikhail Bondarko
buddha239

Category:

Популяризация мотивов, формальных групп, и меня

Решил внести свой вклад в широкую популяризацию науки - раз уж все равно пришлось вставлять приводимую ниже хрень для отчета РФФИ.:)

Проект посвящен важным актуальным разделам современной математики - алгебраической геометрии и теории чисел.

Алгебраическая геометрия - центральный раздел современной алгебры, посвященный ее центральному вопросу - решению и изучению алгебраических уравнений и их систем. Отметим, что множества решений систем алгебраических уравнений (т.н. алгебраические многообразия) имеют большое значение для науки и техники. Например, знаменитая Шуховская башня (построенная в 1920х на Шабловке в Москве) имеет фориу гиперболоида вращения, а "теоретико-числовые" алгебраические уравнения (т.е. уравнения с целыи коэффициентами) активно используются в современной информатике. Например, один из наиболее актуальных современных криптографических (т.е. используемых для защиты секретной информации) алгоритмов основан на использовании эллиптических кривых (многообразий, задаваемых кубическими уравнениями) над полями характеристики 2 (т.е., рассматривается четность/нечетность соответствующих переменных и многочленов от них).
Несмотря на то, что алгебраические многообразия над полями вещественных и комплексных чисел (которым соответствуют многие важные "физические" объекты - включая упомянутую выше Шуховскую башню) и "дискретные" алгебраические многообразия (позволяющие описывать последовательности битов в компьютере) сильно отличаются друг от друга "визуально", многие современные методы алгебраической геометрии и теории чисел можно применять и к тем, и к другим. Тут нужно особо упомянуть разработанную во второй половине XX века французской алгебраической школой (Гротендиком, Делинем, и др.) теорию этальных когомологий (которая позволяет говорить о топологии, т.е. о "форме" дискретных алгебраических многообразий) и о ее развитии - теории мотивов, которая приобрела большое значение на рубеже XX и XXI века благодаря работам Бейлинсона, Суслина, Воеводского и многих других крупнейших математиков.
Одна из связанных с теорией мотивов задач - изучение разрешения особенностей и компактификаций алгебраических многообразий. Алгебраическое многообразие называется гладким, если оно не имеет "изломов"; оно называется компактным, если при его описании (с помощью т.н. однородных уравнений) мы не требовали, чтобы значения каких-то алгебраических выражений в его точках были произвольными ненулевыми числами. Негладкие и некомпактные многообразия имеют большое значение, но для работы с ними часто нужно "сводить" их к гладким компактным (проективным) многообразиям - с помощью разрешения особенностей и компактификации. Проблема в том, что эти процедуры не определяются многообразиями канонически, поэтому встает вопрос о том, насколько сильно могут отличаться разные их варианты. Частично эта проблема была решена на рубеже веков, благодаря весовым комплексам Жилле, Суле, Гуиллена и Наварро-Азнара, но полное "мотивное" решение проблемы было лишь в 2010 (в рамках этого проекта) завершено Бондарко благодаря разработанной им теории весовых структур, и их применению к триангулированным категориям мотивов Воеводского.
Другим базовым вопросом алгебры является изучение различных алгебраических операций. Кроме обычного сложения и умножения большое значение имеют и другие операции, для которых выполняется перестановочный и сочетательный закон; такие алгебраические структуры называются группами. Например, как уже было сказано выше, группы, появляющиеся при изучении кубических уравнений от двух неизвестных (так называемые эллиптические кривые) имеют очень важные применения в криптографии. Они были введены еще великим математиком Эйлером, и используются почти 300 лет (достаточно упомянуть доказательство Уайлсом и Тейлором Великой Теоремы Ферма). Важный инструмент для изучения групп (в частности, соответствующих эллиптических кривым) - запись их с помощью формул; если такая формула начинается с X+Y, то она называется формальной группой.
Спектр применения формальных групп оказывается неожиданно широк. Помимо того, что они применяются как для внутренних нужд математики, более подробного описания некоторых алгебраических структур, их применение также возможно и в соседних с математикой областях. Так, например, весьма соблазнительной кажется идея применения формального "умножения" в криптографии и теории кодирования/ шифрования.
Применение теории чисел для шифрования не ограничивается применением формальных групп в криптографии. Более хитрым шагом становится использование для шифрования некоторой более замысловатой операции, которую будем называть спариванием. В теории чисел имеется довольно нетривиально устроенное спаривание, называемое норменным спариванием Гильберта. Для данного спаривания имеется, на первый взгляд, громоздкая, но явная формула, что, как минимум, существенно упрощает ее использование и вероятно делает возможным ее применения в шифровании. Ее получение С.В. Востоковым стало важным событием в теории чисел. Далее последовало множество работ, в которых, следуя методу, разработанному С.В. Востоковым и его учениками, получали явные формулы для различных обобщений спаривания Гильберта, в том числе были получены и явные формулы для спаривания с некоторыми классами формальных модулей. Следующим шагом стало обобщение спаривание на многомерные локальные поля, которое стало возможным в связи, с развитой Паршиным и Като многомерной теорией полей классов. Эти результаты получили дальнейшее развитие в рамках нашего проекта.

Даже почти правду написал.:)
Subscribe

  • Еще о буднях рецензента

    Задумался - не нужно ли мне срочно закончить экспертизу для РНФ? И не проверишь ведь - сайт-то лежит.(:

  • А кто еще помнит физику?

    Вроде бы, у магнита всегда два полюса, и одноименные полюса отталкиваются? А почему тогда в конструкторе моего сына детали умеют только…

  • А что вы думаете о Математике?

    Не в смысле науки; это, оказывается, журнал такой.:) Есть ли смысл писать для него рецензию?

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 7 comments