Mikhail Bondarko (buddha239) wrote,
Mikhail Bondarko
buddha239

Categories:

И снова о предполагаемом семинаре. Для разнооразия - совсем научно-популярно.:)

Основной предмет алгебраической геометрии - изучение множеств решений систем алгебраических уравнений (такие множества называются алгебраическими многообразия). Переменные в алгебраические уравнения (скажем, с целыми коэффициентами) можно очень разные подставлять - целые, рациональные, вещественные, комплексные, а можно и как в песне - по модулю пять. Или два - т.е. 0 и 1 как в логике и в компьютере. Но проблема в том, что из решения по модулю 2 совсем не всегда можно сделать комплексное. А комплексное редко можно взять по модулю 2. То есть имеем два вроде бы совсем слабо связанных между собой объекта - все из себя такое непрерывное, иногда даже наглядное и физическое, вещественное/комплексное многообразие (например, Шуховская башня в Москве - гиперболоид, или гиперболоид инженера Гарина - на самом деле, параболоид:)), и какой-то непонятный набор нулей и единиц. У гиперболоида с параболоидом форма есть, топология - а у набора 0 и 1 какая топология?

А вот, оказывается - есть у него топология! По крайней мере, некоторая "линеаризация" топологии - когомологии.
А теперь - чуть менее популярно.:)

Если у нас все по модулю р, то для каждого простого l, отличного от p, у многообразий есть l-адические этальные когомологии. Они позволяют считать количество точек многообразия - за счет того, что наделены действием Фробениуса (т.е. являются представлениями абсолютной группы Галуа соответствующего конечного поля). И, что совсем удивительное, есть очень естественные и вполне явные условия для того, чтобы комплексное многообразие, заданное "теми же" уравнениями, имело изоморфные когомологии - это называется теорема о собственной гладкой замене базы. Т.е. число точек для кривой над конечным полем напрямую связано с количеством "ручек" соответствующего комплексного многообразия (которое по совместительству является ориентируемой поверхностью с точки зрения "обычной" топологии).

Если собственной гладкой модели многообразия над целыми числами (или их расширением/локализацией) нет, то все равно не надо сдаваться - начинают работать весьма сложные, но интересные вещи: исчезающие циклы, гипотеза Делиня о весах и монодромии и спектральная последовательность Рапопорта-Цинка. Хорошо бы их тоже когда-нибудь поизучать.:)

А вот с р-адическими когомологиями все еще сложнее - и интереснее, конечно. Пусть у нас есть "хорошее" многообразие над р-адическими числами. У него есть редукция по модулю р, но у редукции нужно считать не р-адические этальные, а кристаллические когомологии. На последних, опять же, действует Фробениус. Кроме того, исходное многообразие задает фильтрацию де Рама на этих кристаллических когомологиях. Получается модуль Дьедонне-Фонтена-Лафаля. А еще есть р-адические этальные когомологии исходного многообразия - это р-адическое представление Галуа. Штука сложная (во всяком случае, для Гротендика 50 лет назад:)). И он предположил, что есть способ трансформировать модули Дьедонне в представления Галуа - т.н. "таинственный функтор". А сам функтор был придуман Фонтеном. Из конструкции видно, что он действительно переводит модули Дьедонне в представления Галуа (или же можно его в обратную сторону запустить). А вот почему получаются именно те представления, какие нужно, доказывало много разного народу. И вот недавно Бейлинсон придумал "естественное" доказательство.

Так что - все айда на семинар!:) Кстати, на первом занятии я изложу содержание этого поста поподробнее.
Tags: Студентам и аспирантам
Subscribe

  • Тест на знание английского

    Чтобы попасть на семинар, нужно было заполнить пробел в " The group A_5 is a ____ of S_5." Три раза обломился с коммутантом - пока не…

  • Еще о буднях рецензента

    Задумался - не нужно ли мне срочно закончить экспертизу для РНФ? И не проверишь ведь - сайт-то лежит.(:

  • А кто еще помнит физику?

    Вроде бы, у магнита всегда два полюса, и одноименные полюса отталкиваются? А почему тогда в конструкторе моего сына детали умеют только…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 26 comments

  • Тест на знание английского

    Чтобы попасть на семинар, нужно было заполнить пробел в " The group A_5 is a ____ of S_5." Три раза обломился с коммутантом - пока не…

  • Еще о буднях рецензента

    Задумался - не нужно ли мне срочно закончить экспертизу для РНФ? И не проверишь ведь - сайт-то лежит.(:

  • А кто еще помнит физику?

    Вроде бы, у магнита всегда два полюса, и одноименные полюса отталкиваются? А почему тогда в конструкторе моего сына детали умеют только…