А вот, оказывается - есть у него топология! По крайней мере, некоторая "линеаризация" топологии - когомологии.
А теперь - чуть менее популярно.:)
Если у нас все по модулю р, то для каждого простого l, отличного от p, у многообразий есть l-адические этальные когомологии. Они позволяют считать количество точек многообразия - за счет того, что наделены действием Фробениуса (т.е. являются представлениями абсолютной группы Галуа соответствующего конечного поля). И, что совсем удивительное, есть очень естественные и вполне явные условия для того, чтобы комплексное многообразие, заданное "теми же" уравнениями, имело изоморфные когомологии - это называется теорема о собственной гладкой замене базы. Т.е. число точек для кривой над конечным полем напрямую связано с количеством "ручек" соответствующего комплексного многообразия (которое по совместительству является ориентируемой поверхностью с точки зрения "обычной" топологии).
Если собственной гладкой модели многообразия над целыми числами (или их расширением/локализацией) нет, то все равно не надо сдаваться - начинают работать весьма сложные, но интересные вещи: исчезающие циклы, гипотеза Делиня о весах и монодромии и спектральная последовательность Рапопорта-Цинка. Хорошо бы их тоже когда-нибудь поизучать.:)
А вот с р-адическими когомологиями все еще сложнее - и интереснее, конечно. Пусть у нас есть "хорошее" многообразие над р-адическими числами. У него есть редукция по модулю р, но у редукции нужно считать не р-адические этальные, а кристаллические когомологии. На последних, опять же, действует Фробениус. Кроме того, исходное многообразие задает фильтрацию де Рама на этих кристаллических когомологиях. Получается модуль Дьедонне-Фонтена-Лафаля. А еще есть р-адические этальные когомологии исходного многообразия - это р-адическое представление Галуа. Штука сложная (во всяком случае, для Гротендика 50 лет назад:)). И он предположил, что есть способ трансформировать модули Дьедонне в представления Галуа - т.н. "таинственный функтор". А сам функтор был придуман Фонтеном. Из конструкции видно, что он действительно переводит модули Дьедонне в представления Галуа (или же можно его в обратную сторону запустить). А вот почему получаются именно те представления, какие нужно, доказывало много разного народу. И вот недавно Бейлинсон придумал "естественное" доказательство.
Так что - все айда на семинар!:) Кстати, на первом занятии я изложу содержание этого поста поподробнее.
