August 31st, 2015

О кадровой политике в Хогвартсе

По телику снова крутят "Гарри Поттера" - а я подумал, что если бы мне каждый год приходилось искать нового преподавателя Защиты от темных искусств, то я бы, для начала, попробовал бы переименовать предмет, а потом вообще разделил его между другими преподавателями.

Проект анонса - покритикуйте, пожалуйста!

Теория Ходжа.

Теория Ходжа - замечательный сплав комплексного анализа, матфизики, алгебраической геометрии и гомологической алгебры.
С алгебраической точки зрения, она представляет собой инструмент, позволяющий сопоставить комплексному (как алгебраическому, так и не совсем) многообразию когомогии с весьма нетривиальной структурой. Гипотеза Ходжа предсказывает, что по этим структурам можно
"почти восстановить" само алгебраическое (проективное) многообразие; эта гипотеза входит в список Проблем Тысячелетия.

Уровень и "направленность" занятий (аналитическая/алгебраическая) будет, в значительной степени, определяться пожеланиями участников.


Абелевы многообразия и 1-мотивы.

Абелевы многообразия - проективные алгебраические многообразия, на которых задана структура группы. Они обладают рядом интересных свойств; в частности, эта группа всегда абелева. Арифметика и геометрия абелевых многообразий представляет большой интерес; уже простейшие (одномерные) абелевы многообразия - эллиптические кривые - имеют большое значения для криптографии; с их помощью была доказана теорема Ферма, и им посвящена другая проблема тысячелетия - гипотеза Берча-Свинертон-Дайера. С абелевыми многообразиями (и их комплексно-аналитической структурой) связана интереснейшая теория модулярных форм. С "мотивной" точки зрения абелевы многообразия "соответствуют" гладким проективным кривым; в частности, они позволяют вычислить количество точек кривой над конечным полем надо рассмотреть ее Якобиан - абелево многообразие.

1-мотивы нужны, если хочется изучать не обязательно гладкие и проективный кривые. Они были определены Делинем как "самый большой явный кусок" гипотетической категории смешанных мотивов. За последнее десятилетие была подробно изучена связь 1-мотивов с мотивами Воеводского.

Опять же, то, с чего мы начнем, сильно зависит от слушателей.
Можно начать с эллиптических кривых; 1-мотивы можно и на следующий семестр отложить.