Еще: как в английском с причастными оборотами?:) Пишу что-то типа
For $M\in X$ and $r$ being a non-negative integer we will say that..
Так можно - или заменить (на что?:))?
И последнее: решил, что мне лень резать свою длинную статью, пока я не попробовал ее опубликовать в Transcations AMS.:)