Конкретно, очень актуальны:
римановы поверхности и функции на них
дифференциальные формы на них (например, в связи с якобианами)
аналитическое продолжение голоморфных функций (начиная с дзета-функций:))
модулярные формы
разложение Ходжа.
Чем кормят на практике по комплексному анализу (по воспоминаниям 12-13 летней давности:))? Идиотскими картинками, которые соответствуют конформным отображениям, но не привязываются ни какой теории. И вычислением контурных интегралов. Все! Это в ПОМИ-группе! Что это, если не вредительство?:)